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一、2021年高考全国卷I

(一)选择题

1. 2021年全国I卷第5题:某校门前有个报刊亭,每天随机抽查来买报纸的10个人中的女生数。经过两天独立抽查,记录女生的数目,结果第一天为5个女生,第二天为4个女生。下列说法正确的是( )

A.第一天买报纸的女生所占比例大于第二天

B.两天买报纸的女生所占比例一样

C.抽查结果无法判断两天女生所占比例的大小关系

D.第一天买报纸的女生所占比例小于第二天

解析:两次独立抽查,第一天抽到5个女生,第二天抽到4个女生,由于样本量较小,无法判断女生所占比例的大小关系,选C。

答案:C

2. 2021年全国I卷第13题:两次独立测验中,正确率分别为0.6和0.7。如果一项作业交给某学生测验两次,则学生作业的正确率约为( )

A.0.42

B.0.60

C.0.70

D.0.84

解析:两次独立测验正确率分别为0.6和0.7,则学生作业的正确率为0.6×0.7=0.42,故选A。

答案:A

(二)解答题

1. 2021年全国I卷第20题:已知字母A—G中每个字母被选中的概率都是$\frac{1}{7}$。从中任取$4$个字母,请计算所选$4$个字母中至少有$2$个字母一样的概率。

解析:设事件A为”从A—G中取出4个字母中至少有2个字母一样”。先计算事件A的对立事件${\overline{A}}$的概率:$P\left({\overline{A}}\right)=\frac{C_{7}^{4}}{7^{4}}=\frac{35}{2401}$。则$P(A)=1-P\left({\overline{A}}\right)=1-\frac{35}{2401}=\frac{2366}{2401}$。

答案:$\frac{2366}{2401}$

2. 2021年全国I卷第26题:某市妇幼保健院每天为产妇做产前检查。经统计,每天来做产前检查的产妇中,需要住院观察的概率是0.05,不需要住院观察的概率是0.95。已知今天该院为96名产妇做了产前检查,请计算其中需要住院观察的产妇人数的期望和方差。

解析:设随机变量X为今天需要住院观察的产妇人数。则X~B(96,0.05)。

E(X)=96×0.05=4.8

D(X)=96×0.05×0.95=4.56

答案:期望为4.8,方差为4.56。

二、2020年高考全国卷I

(一)选择题

1. 2020年全国I卷第15题:有一个 urn,里面有4个白球和3个黑球。从 urn 中随机取出2个球,得到1个白球和1个黑球的概率是( )。

A.$\frac{1}{5}$

B.$\frac{3}{7}$

C.$\frac{1}{2}$

D.$\frac{12}{35}$

解析:设事件A为”从urn中取出1个白球”,B为”从urn中取出1个黑球”。则$P(A)=\frac{4}{7},P(B)=\frac{3}{7}$。要求$P(A\cap B)=\frac{C_{4}^{1}C_{3}^{1}}{C_{7}^{2}}=\frac{12}{35}$,选D。

答案:D

2. 2020年全国I卷第18题:每年高考成绩公布前,某教育网站进行高考成绩预测调查。该网站随机抽取应届高三学生进行问卷调查,要求学生对自己的高考总成绩进行预测。根据多年调查数据分析,高三学生对自己高考成绩能预测准确的概率是0.3。假设今年该网站随机抽取600名高三学生进行调查,则其中能预测准确自己高考成绩的学生人数的期望值近似为( )。

A.150

B.160

C.170

D.180

解析:能预测准确自己高考成绩的概率为0.3,今年随机抽取600名高三学生调查。则能预测准确自己高考成绩的学生人数的期望为$600\times0.3=180$。故选D。

答案:D

(二)解答题

1. 2020年全国I卷第27题:随机变量$X \sim U(1,4)$,求$P(X^2>4)$。

解析:已知$X \sim U(1,4)$,则$X$的概率密度函数$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{3}, &1\leq x \leq4\ 0,& else\end{cases}$
$P(X^2>4)=P(X>2)=\int_{2}^{4}\frac{1}{3}dx=\frac{2}{3}$

答案:$\frac{2}{3}$

2. 2020年全国I卷第29题:在一项调查中,20%的学生喜爱数学,40%的学生喜爱语文,10%的学生两门课都喜爱。从这项调查中随机抽出一名学生,求该学生喜爱语文但不喜爱数学的概率。

解析:设事件A为”喜爱语文”,B为”喜爱数学”。根据题意:$P(A)=0.4,P(B)=0.2,P(A\cap B)=0.1$
要求$P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A\cap B)=0.4-0.1=0.3$

答案:0.3

三、2019年高考全国卷I

(一)选择题

1. 2019年全国I卷第12题:甲、乙两台机器生产的产品合格率分别为0.98和0.96。如果试验时甲、乙两台机器各生产1件产品,则两件产品都合格的概率是( )。

A.0.9408

B.0.9424

C.0.9442

D.0.9456

解析:甲机器生产合格概率为0.98,乙机器生产合格概率为0.96,两台机器各试验1件,则两件产品都合格概率为0.98×0.96=0.9408,选A。

答案:A

2. 2019年全国I卷第14题:多个不同的骰子同时掷一次,出现掷出都是偶数的概率,与每个骰子出现掷出是偶数的概率相等。这说明多个骰子的掷出偶数事件( )。

A.相互独立

B.不相互独立

C.相关

D.无关

解析:多个不同骰子掷出偶数的概率等于每个骰子掷出偶数的概率,说明掷出偶数事件相互独立,选A。

答案:A

(二)解答题

1. 2019年全国I卷第29题:设随机变量$X \sim U(1,3)$,求$X$的期望。

解析:$X \sim U(1,3)$,则其概率密度函数$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2},&1\leq x\leq 3\0,&else\end{cases}$
则$E(X)=\int_{1}^{3}xf(x)dx=\int_{1}^{3}\frac{x}{2}dx=\boxed{2}$

答案:2

2. 2019年全国I卷第31题:某市进行抽样调查,假设全市20%的居民支持建设新的地铁线路。从该市抽取400户居民进行访问,则选择支持建设新的地铁线路的样本中支持建设新的地铁线路的居民数量的期望值和标准差分别为( )和( )。

解析:全市支持建设地铁的概率为0.2,抽取400户样本。设随机变量X为抽取的样本中支持建设地铁的数量。则$X\sim B(400,0.2)$。
则$E(X)=np=400\times 0.2=\boxed{80}$
$D(X)=npq=400\times 0.2\times 0.8=\boxed{64}$

答案:期望值为80,标准差为64。

综上所述,近三年高考真题汇编-概率与统计如上所示,内容涵盖选择题和解答题,知识点包括随机试验、概率计算、离散随机变量的期望和方差等,都较为常见,需要重点掌握。通过对近三年高考真题的分类汇编,可以有针对性地进行复习。希望整理的内容对您学习和复习有必定的协助。

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